Recorte 14: Projeção ortogonal e equações normais

Projeção ortogonal de um vetor sobre um subespaço

Seja \(E\) um espaço Euclidiano e seja \(E'\), de dimensão finita \(n\), um subespaço de \(E\). Seja \(v\) um vetor de \(E\) não pertencente a \(E'\).

Problema: obter um vetor \(v_0 \in E'\) tal que \(v − v_0\) seja ortogonal a todo vetor de \(E'\). Na figura abaixo, \(E = \mathbb{R}^3\) e \(E' = \mathbb{R}^2\).

Solução: seja \(\{ e_1, e_2, \ldots, e_n \}\) uma uma base de \(E'\). Como \(v_0 \in E'\), podemos escrevê-lo pela combinação linear:

\[v_0 = \gamma_1e_1 + \gamma_2e_2 + \ldots + \gamma_ne_n.\]

Devemos determinar, caso possível, as coordenadas \(\gamma_1, \gamma_2, \ldots \gamma_n\).

Para \(v - v_0\) ser ortogonal a \(E'\), ele deve ser ortogonal a todo vetor de \(E'\). Logo, basta que seja ortogonal a todo vetor de uma base de \(E'\). Então,

\[\langle v - v_0, e_j \rangle = \langle v - (\gamma_1e_1 + \gamma_2e_2 + \ldots + \gamma_ne_n), e_j \rangle = 0 \qquad \text{para} \ \ j = 1,2,\ldots,n\]

Expandindo o produto vetorial, observamos que a seguinte equação deve ser satisfeita

\[\gamma_1 \langle e_1, e_j \rangle + \gamma_2 \langle e_2, e_j \rangle + \ldots + \gamma_n \langle e_n, e_j \rangle = \langle v, e_j \rangle, \ \ j = 1,2,\ldots,n.\]

Equações desse tipo são conhecidas como equações normais.

Assim, para obtermos as coordenadas de \(V_0\) na base\( \{ e_1, e_2, \ldots, e_n \}\), devemos resolver o sistema de equações lineares:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} \langle e_1,e_1 \rangle & \langle e_2,e_1 \rangle & \ldots & \langle e_n,e_1 \rangle \\ \langle e_1,e_2 \rangle & \langle e_2,e_2 \rangle & \ldots & \langle e_n,e_2 \rangle \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \langle e_1,e_n \rangle & \langle e_2,e_n \rangle & \ldots & \langle e_n,e_n \rangle \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \gamma_1 \\ \gamma_2 \\ \vdots \\ \gamma_n \\ \end{bmatrix} \, = \, \begin{bmatrix} \langle v,e_1 \rangle \\ \langle v,e_2 \rangle \\ \vdots \\ \langle v,e_n \rangle \end{bmatrix},\end{split}\]

cuja matriz é simétrica. Pode-se mostrar que o sistema acima possui solução única, implicando que \(v_0\) é a projeção ortogonal de \(v\) sobre o subespaço \(E'\).