Recorte 13: Análise de erros em interpolação polinomial#

Erro na interpolação#

  • O problema da interpolação garante que

\[P_n(x_k) = f(x_k), \ \ k = 0,1,\ldots,n,\]

para um polinômio \(P_n(x)\) interpolador de \(f(x)\) sobre um conjunto distinto de pontos \(x_0,x_1,\ldots,x_n\).

  • O mesmo não é garantido para pontos \(\overline{x} \neq x_k\), isto é, nem sempre teremos \(P_n(\overline{x}) = f(\overline{x})\)

  • Uma vez que \(P_n(x)\) aproxima \(f(x)\), um erro existe

  • Perguntas: quão boa é a aproximação feita por \(P_n(x)\)? Como ter ideia do erro cometido?

Ao se aproximar \(f(x)\) por \(P_n(x)\) (grau \(\leq n\)), comete-se um erro – Notemos que \(E_n(\overline{x}) = 0, \forall \overline{x} \neq x_k\).

\[E_n(x) = f(x) - P_n(x), \qquad \forall x \in [x_0,x_n]\]

Teorema 1: Seja \(f(x)\) contínua em \([a,b]\) e suponhamos que \(f^{(n+1)}(x)\) exista para todo \(x \in (a,b)\). Se \(a \leq x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n \leq b\), então: $\(E_n(x) = f(x) - P_n(x) = (x-x_0)(x-x_1)(x-x_2) \ldots (x-x_n) \dfrac{ f^{(n+1)}(\xi_x) }{ (n+1)! },\)\( onde \)x_0 < \xi_x < x_n\(. O ponto \)\xi_x\( depende de \)x$.

Majorante para o erro#

  • A fórmula para o erro dada anteriormente tem uso prático limitado, pois \(f^{(n+1)}(x)\) nem sempre sera conhecida, assim como a determinação de \(\xi_x\).

  • A fórmula exata tem relevância teórica, já que é usada na obtenção de estimativas de erro para as fórmulas de interpolação, diferenciação e integração numérica

  • Dois corolários do teorema anterior são importantes para se trabalhar com um majorante para o erro

Corolário 1: Sob as hipóteses do Teorema 1, se \(f^{(n+1)}(x)\) for contínua em \(I = [x_0, x_n]\), podemos escrever a seguinte relação $\(| E_n(x) | = | f(x) - P_n(x) | \leq | (x-x_0)(x-x_1) \ldots (x-x_n) | \dfrac{ M_{n+1} }{(n+1)!}\)$

com

\[M_{n+1} = \max_{x \in I}| f^{(n+1)}(x) |.\]

Corolário: Se além das hipóteses do Corolário 1, os pontos forem igualmente espaçados, isto é, \(x_1 - x_0 = x_2 - x_1 = \ldots = x_n - x_{n-1} = h\), então

\[| f(x) - P_n(x) | < \dfrac{ h^{(n+1)}M_{n+1} }{ 4(n+1) }\]

O majorante independe de \(x\).

Estimativa para o erro#

Se \(f(x)\) for dada na forma de tabela, o valor absoluto \(| E_n(x) |\) pode ser apenas estimado, pois, neste caso, não é possível calcular \(M_{n+1}\); mas, se continuarmos a tabela de DDs até a ordem \(n+1\), poderemos usar o maior valor (em módulo) das DDs como uma aproximação para

\[\dfrac{M_{n+1}}{(n+1)!}, \qquad [x_0,x_n].\]

Neste caso, dizemos que

\[| E_n(x) | \approx | (x-x_0)(x-x_1) \ldots (x-x_n) | | M |,\]

para \(M\) o valor máximo das DDs de ordem \(n+1\).