Recorte 6: Definições de erro

Erro absoluto

O erro absoluto é computado pelo módulo do erro real (ou verdadeiro) e dado por

\[E_v = | \text{valor verdadeiro} - \text{valor aproximado}|,\]

onde o subscrito \(v\) significa verdadeiro.

No entanto, o grande defeito do erro absoluto é não levar em conta a ordem de grandeza dos valores envolvidos no seu cálculo. Então, para levarmos em conta a ordem de grandeza, devemos normalizá-lo.

Erro relativo

A normalização do erro absoluto produz o erro relativo, o qual pode ser relativo ao valor exato (verdadeiro) ou ao próprio valor aproximado. No primeiro caso, temos o erro relativo verdadeiro \(\epsilon_v\), dado por $\(\epsilon_v = \dfrac{E_v}{\text{valor verdadeiro}}.\)$

Em geral, os erros relativos são dados em porcentagem. Assim, podemos escrever

\[\epsilon_v = \dfrac{E_v}{\text{valor verdadeiro}} \times 100\%.\]

Erro relativo aproximado

Todavia, em situações reais, nem sempre conhecemos o valor verdadeiro. Ele está disponível quando temos soluções analíticas (“fechadas”) para alguns problemas simplificados. Este desconhecimento prévio do valor verdadeiro leva-nos à necessidade de se estabelecer o erro relativo normalizado pelo valor aproximado, isto é,

\[\epsilon_a = \dfrac{\text{erro aproximado}}{\text{valor aproximado}} \times 100\%,\]

sendo o erro aproximado não exatamente aquele dado por \(E_v\).

Erro relativo - abordagem iterativa

Em métodos numéricos aplicados a problemas do mundo real, temos interesse em determinar estimativas de erro, já que não temos conhecimento prévio relativo ao valor verdadeiro. A abordagem iterativa, que veremos mais à frente, encontra a aproximação atual com base em uma aproximação prévia, que parte de uma estimativa inicial. Para essas situações, o erro relativo é estimado como

\[\epsilon_a = \dfrac{\text{aproximação atual - aproximação prévia}}{\text{aproximação atual}} \times 100\%\]

Nos métodos iterativos, a prática comum é especificar uma tolerância porcentual \(\epsilon_s\) para o erro relativo e esperar que os métodos obtenham um erro menor do que esta tolerância, isto é,

\[|\epsilon_a | < \epsilon_s.\]

Caso esta desigualdade seja verificada, diremos que nosso o método possui uma margem de erro aceitável e pode ser considerado suficientemente preciso dentro do que estabelecemos.