Recorte 12: Condicionamento e normas de matrizes

Normas de matrizes e vetores

Uma norma é uma função de valor real que fornece uma medida do tamanho ou “comprimento” de entidades matemáticas de componentes múltiplos, tais como vetores e matrizes. Para um vetor de \(n\) dimensões \(\textbf{x}\), sabemos que uma norma Euclidiana seria calculada como

\[||\textbf{x}|| = \sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^n \textbf{x}_i^2}.\]

O conceito pode ser estendido para uma matriz \(\textbf{A}\) da seguinte maneira:

\[||\textbf{A}|| = \sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i,j}^2},\]

cujo nome, em especial, é norma de Frobenius. Assim como qualquer outra norma de um vetor, ela fornece um valor único que quantifica o “tamanho” de \(\textbf{A}\).

Para vetores, existem alternativas, as chamadas normas-\(p\). que podem ser representadas geralmente por

\[||\textbf{x}||_p = \left( \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i^p \right)^{1/p}.\]

Vemos que a norma Euclidiana e a norma-\(2\) são idênticas para vetores.

Outros exemplos importantes são

\[||\textbf{x}||_1 = \displaystyle \sum_{i=1}^n |x_i|,\]

que representa a norma como a soma dos valores absolutos dos elementos. Outra é a norma de magnitude máxima.

\[||\textbf{x}||_{\infty} = \max_{1 \le i \le n} |x_i|,\]

que define a norma como o elemento com o maior valor absoluto.

Usando uma abordagem similar, outras normas podem ser desenvolvidas por matrizes. Por exemplo,

\[||\textbf{A}||_{1} = \max_{1 \le j \le n} \displaystyle \sum_{i=1}^n |a_{ij}|,\]

isto é, uma somatória dos valores absolutos dos coeficientes é feita para cada coluna, e a maior dessas somatórias é tomada como a norma. Esta é chamada norma da soma das colunas.

Uma norma similar pode ser definida para as linhas, resultando na norma da soma das linhas

\[||\textbf{A}||_{\infty} = \max_{1 \le i \le n} \displaystyle \sum_{j=1}^n |a_{ij}|.\]

Deve-se notar que, em contraste com os vetores, a norma-2 e a norma Euclidiana para uma matriz não são as mesma. A norma-2 é calculada pela expressão

\[||\textbf{A}|| = (\mu_{\max})^{1/2},\]

onde \(\mu_{\max}\) é o maior autovalor da matriz \(\textbf{B} = \textbf{A}^T \textbf{A}\). Esta norma é chamada de norma espectral.

Número de condição de uma matriz

O número de condição de uma matriz é definido (pela forma mais comum) por

\[\mathrm{cond}(\textbf{A}) = ||\textbf{A}|| \, || \textbf{A}^{-1} ||.\]

Se o valor de \(\mathrm{cond}(\textbf{A})\) for muito maior do que 1, diz-se que o sistema é mal-condicionado.