Recorte 11: Método de Newton-Raphson para raízes múltiplas#

Para mais detalhes, veja o artigo Newton’s method for multiple roots, autorado por William Gilbert e publicado na revista Computers & Graphics 18(2):227-229, em 1994. DOI: 10.1016/0097-8493(94)90097-3.

Método modificado#

Uma raiz múltipla corresponde a um ponto no qual a função é tangente ao eixo x. Por exemplo,

\[f(x) = (x-0.5)(x+2)(x+2)\]

possui uma raiz dupla \(x = -2\), ao passo que

\[f(x) = (x + \pi)^4(x-1)\]

possui uma raiz quádrupla em \(x = - \pi\).

Raízes múltiplas causam dificuldades para muitos dos métodos numéricos iterativos. Ralston e Rabinowitz (1978) propuseram um método de Newton-Raphson modificado para computar raízes múltiplas de uma função \(f(x)\). Eles definiram uma nova função

\[u(x) = \frac{f(x)}{f'(x)},\]

cujas raízes são as mesmas de \(f(x)\)

O MNR padrão aplicado à função \(u(x)\) é dado por

\[x_{i+1} = x_i - \frac{u(x_i)}{u'(x_i)}, \quad i = 0,1,2,\ldots\]

Tendo em vista que a derivada de \(u(x)\) é dada por

\[u'(x) = \frac{f'(x)f'(x) - f(x)f''(x)}{[f(x)]^2},\]

podemos substituir \(u(x)\) e \(u'(x)\) no método padrão para obter o método de Newton-Raphson modificado:

\[x_{i+1} = x_i - \frac{f(x_i)f'(x_i)}{[f'(x_i)]^2 - f(x_i)f'(x_i)}, \quad i = 0,1,2,\ldots\]