Fundamentos de Matemática Discreta com Python¶

Matemática Discreta¶

A matemática é uma ciência fundamental para qualquer formação ligada à computação, à informática e, em nosso caso, à ciência e análise de dados. Porém, a característica distintiva da matemática realizada pelas máquinas é a finitude. Isto é, enquanto a matemática tradicional que aprendemos é capaz de lidar com quantidades infinitas e incontáveis, as máquinas possuem limitações em suas capacidades, seja em armazenamento, seja em memória. Embora tais capacidades sejam expansíveis de alguma forma, devemos compreender que os recursos computacionais são finitos.

Chamamos de Matemática Discreta (ou Álgebra Abstrata) a área da Matemática que lida com objetos discretos, a saber, conjuntos, sequencias, listas, coleções ou quaisquer entidades contáveis. Por exemplo, diz-se que o conjunto dos números reais é incontável, ou não enumerável, pelo fato de não conseguirmos obter um paralelo entre seus elementos e o conjunto dos números naturais. Em outras palavras, não podemos determinar o número de elementos do conjunto \(\mathbb{R}\). Por outro lado, isto não acontece com uma variedade de outros conjuntos que podemos encontrar na vida real. Observemos os exemplos:

O conjunto das vogais da língua portuguesa;
O conjunto dos times de futebol brasileiros da série A em 2020;
O conjunto de nomes das estações do ano;
O conjunto das personagens que formam o quarteto principal do filme Os Pinguins de Madagascar e;
O conjunto dos números pares positivos menores ou iguais a dez.

Cada conjunto desses possui um número finito de elementos. Isto quer dizer que são contáveis, ou enumeráveis. Podemos defini-los, em linguagem matemática, por meio da extensão, quando listamos seus elementos, ou por meio da compreensão, quando usamos uma propriedade que distingue seus elementos. Ao longo do ensino básico, você já deparou com isto. Vamos apenas relembrar.

Reescritos por extensão, esses conjuntos, em ordem, são lidos como:

\(\{ a, e, i, o, u \}\)
\(\{ \text{Atlético-PR}, \ldots, \text{Bahia}, \text{Botafogo}, \ldots, \text{Coritiba}, \ldots, \text{Fortaleza}, \ldots, \text{Internacional}, \ldots, \text{São Paulo}, \text{Sport}, \text{Vasco} \}\)
\(\{ \text{Primavera}, \text{Verão}, \text{Outono}, \text{Inverno}\}\)
\(\{ \text{Capitão}, \text{Kowalski}, \text{Recruta}, \text{Rico}\}\)
\(\{ 2, 4, 6, 8,10\}\)

Já por compreensão, poderiam ser lidos como:

\(\{ c \in \mathbb{A} \, ; \, c \text{ é vogal} \}\)
\(\{ t \in \mathbb{T} \, ; \, t \text{ é da Série A} \}\)
\(\{ x \, ; \, x \text{ é uma estação do ano} \}\)
\(\{ p \, ; \, p \text{ é personagem do quarteto principal do filme Os Pinguins de Madagascar} \}\)
\(\{ e \, ; \, e \text{ é estação do ano} \}\)
\(\{ n \in \mathbb{Z} \, | \, n = 2k \wedge 2 \leq n \leq 10 \wedge k \in \mathbb{Z} \}\)

Por livre conveniência, chamamos de \(\mathbb{A}\) o conjunto de todas as letras de nosso alfabeto e de \(\mathbb{T}\) o conjunto de todos os times de futebol do Brasil. Adicionalmente, vale ressaltar que poderíamos usar diferentes formas de denotá-los por compreensão além dessas. Tal liberdade de escolha, desde que coerente, transmite exatamente o caráter abstrato que a Matemática Discreta possui.

Estruturas de dados em Python para lidar com objetos discretos¶

A linguagem oferece diversos objetos para operarmos com quantidades discretas em formas de sequencias, listas ou coleções. De forma genérica, você pode interpretá-las como “conjuntos” que contém zero ou mais elementos. Um conjunto com zero elementos é chamado de vazio. Em Python, também temos meios para representar o “vazio” também, como veremos adiante.

As principais estruturas que aprenderemos serão:

list: estrutura cujo conteúdo é modificável e o tamanho variável. Listas são caracterizadas por mutabilidade e variabilidade. Objetos list são definidos por um par de colchetes e vírgulas que separam seus elementos: [., ., ... ,.].
tuple: estrutura cujo conteúdo não é modificável e o tamanho fixado. Tuplas são caracterizadas por imutabilidade e invariabilidade. Objetos tuple são definidos por um par de colchetes e vírgulas que separam seus elementos: (., ., ... ,.).
dict: estruturas contendo uma coleção de pares do tipo chave-valor. Dicionários são caracterizados por arrays associativos (tabelas hash). Objetos dict são definidos por um par de chaves e agrupamentos do tipo 'chave':valor (key:value), separados por vírgula: {'chave1':valor1, 'chave2':valor2, ... ,'chaven':valorn}. As chaves (keys) são do tipo str, ao passo que os valores podem ser de tipos arbitrários.
set: estruturas similares a dict, porém não possuem chaves e contêm objetos únicos. Conjuntos são caracterizadas por unicidade de elementos. Objetos set são definidos por um par de chaves e vírgulas que separam seus elementos: {., ., ... ,.}.

Listas¶

Estruturas list formam uma coleção de objetos arbitrários e podem ser criadas de modo sequenciado com operadores de pertencimento ou por expressões geradoras, visto que são estruturas iteráveis.

vogais = ['a','e','i','o','u']
vogais

['a', 'e', 'i', 'o', 'u']

times = ['Bahia', 'Sport', 'Fortaleza', 'Flamengo']
times

['Bahia', 'Sport', 'Fortaleza', 'Flamengo']

pares10 = [2,4,6,8,10]
pares10

[2, 4, 6, 8, 10]

mix = ['Bahia',24,6.54,[1,2]] # vários objetos na lista
mix

['Bahia', 24, 6.54, [1, 2]]

Listas por geração¶

Exemplo: crie uma lista dos primeiros 100 inteiros não-negativos.

os_100 = range(100) # range é uma função geradora
print(list(os_100)) # casting com 'list'

[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99]

Exemplo: crie o conjunto \(\{ x \in \mathbb{Z} \, ; \, -20 \leq x < 10 \}\)

print(list(range(-20,10))) # print é usado para imprimir column-wise

[-20, -19, -18, -17, -16, -15, -14, -13, -12, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

Exemplo: crie o conjunto \(\{ x \in \mathbb{Z} \, ; \, -20 \leq x \leq 10 \}\)

print(list(range(-20,11))) # para incluir 10, 11 deve ser o limite. Por quê?

[-20, -19, -18, -17, -16, -15, -14, -13, -12, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]

Adicionando e removendo elementos¶

Há vários métodos aplicáveis para adicionar e remover elementos em listas.

Adição por apensamento¶

Adiciona elementos por concatenação no final da lista.

times.append('Botafogo')
times

['Bahia', 'Sport', 'Fortaleza', 'Flamengo', 'Botafogo']

times.append('Fluminense')
times

['Bahia', 'Sport', 'Fortaleza', 'Flamengo', 'Botafogo', 'Fluminense']

Adição por extensão¶

Para incluir elementos através de um objeto iterável, sequenciável, usamos extend.

times.extend(['Vasco, Atlético-MG']) # usa outra lista pra estender a lista
times

['Bahia',
 'Sport',
 'Fortaleza',
 'Flamengo',
 'Botafogo',
 'Fluminense',
 'Vasco, Atlético-MG']

Iteração e indexação¶

A iteração sobre uma lista é o processo de “passear” por seus elementos de modo sequenciado. Ao fornecermos o índice (posição) de seus elementos, podemos indexá-los.

Em Python, a indexação de listas começa a partir de 0 e termina em n - 1, onde n é o tamanho da lista.

Por exemplo, analise a seguinte correspondência:

\(\text{posição} : \{p=0, p=1, \ldots, p={n-1}\}\)

\(\text{elementos na lista} : [x_1, x_2, \ldots, x_{n}]\)

Quer dizer, o primeiro elemento, \(x_1\) está na posição 0, \(p = 0\), ao passo que o último elemento, \(x_n\), está na posição \(n - 1\), \(p = {n-1}\). Logo, se escolhermos uma variável chamada \(p\) que assume o valor \(0\), \(1\), …, \(n-1\), mediante a posição (ordenada) do elemento na lista, diremos que \(p\) é um iterador, os inteiros de \(0\) a \(n-1\) são os índices e \(n\) é o tamanho da lista.

Esta mesma idéia é aplicável a qualquer coleção, sequencia ou objeto iterável.

Remoção por índice¶

Suponha que tivéssemos criado a lista:

pares = [0,2,5,6] # 5 não é par
pares

[0, 2, 5, 6]

Como 5 não é par, não deveria estar na lista. Para excluírmos um elemento em uma posição específica, usamos pop passando o índice onde o elemento está.

pares.pop(2) # o ímpar 5 está na posição 2 e NÃO 3! 
pares

[0, 2, 6]

Adição por índice¶

Nesta lista, podemos pensar em incluir 4 entre 2 e 6. Para isto, usamos insert(posicao,valor), para valor na posicao desejada.

pares.insert(2,4) # 4 é inserido na posição de 6, que é deslocado
pares

[0, 2, 4, 6]

Apagar conteúdo da lista¶

Podemos apagar o conteúdo inteiro da lista com clear.

times.clear()
times # lista está vazia

[]

Podemos contar o número de elementos da lista com len.

len(times) # verifica que a lista está vazia

type([]) # a lista é vazia, mas continua sendo lista

list

Outros métodos de lista¶

Conte repetições de elementos na lista com count.

numeros = [1,1,2,3,1,2,4,5,6,3,4,4,5,5]
print( numeros.count(1), numeros.count(3), numeros.count(7) )

3 2 0

Localize a posição de um elemento com index.

numeros.index(5) # retorna a posição da primeira aparição

Remova a primeira aparição do elemento com remove.

numeros.remove(1) # perde apenas o primeiro
numeros

[1, 2, 3, 1, 2, 4, 5, 6, 3, 4, 4, 5, 5]

Faça uma reflexão (“flip”) in-place (sem criar nova lista) da lista com reverse.

numeros.reverse() 
numeros

[5, 5, 4, 4, 3, 6, 5, 4, 2, 1, 3, 2, 1]

Ordene a lista de maneira in-place (sem criar nova lista) com sort.

numeros.sort()
numeros

[1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6]

Concatenação de listas¶

Listas são concatenadas (“somadas”) com +. Caso já possua listas definidas, use extend.

['Flamengo', 'Botafogo'] + ['Fluminense']

['Flamengo', 'Botafogo', 'Fluminense']

['Flamengo', 'Botafogo'] + 'Fluminense' # erro: 'Fluminense' não é list

---------------------------------------------------------------------------
TypeError                                 Traceback (most recent call last)
<ipython-input-23-3b000c9317b9> in <module>
----> 1 ['Flamengo', 'Botafogo'] + 'Fluminense' # erro: 'Fluminense' não é list

TypeError: can only concatenate list (not "str") to list

times_nordeste = ['Fortaleza','Sport']
times_sul = ['Coritiba','Atlético-PR']
times_nordeste + times_sul

['Fortaleza', 'Sport', 'Coritiba', 'Atlético-PR']

times_nordeste.extend(times_sul) # mesma coisa
times_nordeste

['Fortaleza', 'Sport', 'Coritiba', 'Atlético-PR']

Fatiamento de listas¶

O fatiamento (“slicing”) permite que selecionemos partes da lista através do modelo start:stop, em que start é um índice incluído na iteração, e stop não.

letras = ['a','b','c','d','e','f','g']
letras[0:2]

['a', 'b']

letras[1:4]

['b', 'c', 'd']

letras[5:6]

['f']

letras[0:7] # toda a lista

['a', 'b', 'c', 'd', 'e', 'f', 'g']

Omissão de `start` e `stop`¶

letras[:3] # até 3, exclusive

['a', 'b', 'c']

letras[:5] # até 5, exclusive

['a', 'b', 'c', 'd', 'e']

letras[4:] # de 4 em diante

['e', 'f', 'g']

letras[6:] # de 6 em diante

['g']

Modo reverso¶

letras[-1] # último índice

'g'

letras[-2:-1] # do penúltimo ao último, exclusive

['f']

letras[-3:-1]

['e', 'f']

letras[-4:-2]

['d', 'e']

letras[-7:-1] # toda a lista

['a', 'b', 'c', 'd', 'e', 'f']

letras[-5:] 

['c', 'd', 'e', 'f', 'g']

letras[:-3] 

['a', 'b', 'c', 'd']

Elementos alternados com `step`¶

Podemos usar um dois pontos duplo (::) para dar um “passo” de alternância.

letras[::2] # salta 2-1 intermediários

['a', 'c', 'e', 'g']

letras[::3] # salta 3-1 intermediários

['a', 'd', 'g']

letras[::7] # salto de igual tamanho

['a']

letras[::8] # salto além do tamanho

['a']

Mutabilidade de listas¶

Podemos alterar o conteúdo de elementos diretamente por indexação.

from sympy.abc import x,y

ops = [x+y,x-y,x*y,x/y]
ops2 = ops.copy() # cópia de ops
ops

[x + y, x - y, x*y, x/y]

ops[0] = x-y
ops

[x - y, x - y, x*y, x/y]

ops[2] = x/y
ops

[x - y, x - y, x/y, x/y]

ops[1], ops[3] = x + y, x*y # mutação por desempacotamento
ops

[x - y, x + y, x/y, x*y]

ops[1:3] = [False, False, True] # mutação por fatiamento
ops

[x - y, False, False, True, x*y]

ops = ops2 # recuperando ops 
ops

[x + y, x - y, x*y, x/y]

ops2 is ops

True

ops3 = [] # lista vazia
ops3

[]

ops2 = ops + ops3 # concatenação cria uma lista nova
ops2

[x + y, x - y, x*y, x/y]

ops2 is ops # agora, ops2 não é ops 

False

print(id(ops), id(ops2)) # imprime local na memória de ambas

140242443352016 140242447434608

ops2 == ops # todos os elementos são iguais

True

O teste de identidade é False, mas o teste de igualdade é True.

Exemplo: Escreva uma função que calcule a área, perímetro, comprimento da diagonal, raio, perímetro e área do círculo inscrito, e armazene os resultados em uma lista.

# usaremos matemática simbólica
from sympy import symbols
from math import pi

# símbolos
B, H = symbols('B H',positive=True)

def propriedades_retangulo(B,H):
    '''
        A função assume que a base B 
        é maior do que a altura H. Senão, 
        as propriedades do círculo inscrito 
        não serão determinadas.        
    '''    
    d = (B**2 + H**2)**(1/2) # comprimento da diagonal
    r = d/2 # raio do círculo inscrito    
    return [B*H, 2*(B+H), d, d/2, 2*pi*r, pi*(r)**2]

# lista de objetos símbolos
propriedades_retangulo(B,H)

[B*H,
 2*B + 2*H,
 (B**2 + H**2)**0.5,
 (B**2 + H**2)**0.5/2,
 3.14159265358979*(B**2 + H**2)**0.5,
 0.785398163397448*(B**2 + H**2)**1.0]

# substituindo valores
B, H = 4.0, 2.5

# desempacotando
propriedades_retangulo(B,H)

[10.0,
0,
716990566028302,
358495283014151,
818862909286873,
47510913559322]

Formatação de strings¶

Os valores na lista acima poderiam ser impressos de uma maneira mais legível. Até o momento, estivemos habituados em imprimir valores passando-s à função print. Entretanto, a Python nos oferece uma ampla gama de recursos para formatar strings. Veremos mais detalhes sobre templating e formatação de strings mais à frente no curso. Por enquanto, vamos ver como podemos imprimir melhor os float anteriores.

O template a seguir usa a função format para substituição de valores indexados.

templ = '{0} {1} ... {n}'.format(arg0,arg1,...,argn)

Nota: Para ajuda plena sobre formatação, consultar:

help('FORMATTING')

# considere R: retângulo; C: círculo inscrito

res = propriedades_retangulo(B,H) # resultado

props = ['Área de R',
         'Perímetro de R',
         'Diagonal de R',
         'Raio de C',
         'Perímetro de C',
         'Área de C'
        ] # propriedades

# template
templ = '{0:s} = {1:.2f}\n\
{2:s} = {3:.3f}\n\
{4:s} = {5:.4f}\n\
{6:s} = {7:.5f}\n\
{8:s} = {9:.6f}\n\
{10:s} = {11:.7f}'.format(props[0],res[0],\
                          props[1],res[1],\
                          props[2],res[2],\
                          props[3],res[3],\
                          props[4],res[4],\
                          props[5],res[5])

# impressão formatada
print(templ)

Área de R = 10.00
Perímetro de R = 13.000
Diagonal de R = 4.7170
Raio de C = 2.35850
Perímetro de C = 14.818863
Área de C = 17.4751091

Como interpretar o que fizemos?¶

{0:s} formata o primeiro argumento de format, o qual é props[0], como str (s).
{1:.2f} formata o segundo argumento de format, o qual é res[0], como float (f) com duas casas decimais (.2).
{3:.3f} formata o quarto argumento de format, o qual é res[1], como float (f) com três casas decimais (.3).

A partir daí, percebe-se que um template {X:.Yf} diz para formatar o argumento X como float com Y casas decimais, ao passo que o template {X:s} diz para formatar o argumento X como str.

Além disso, temos:

\n, que significa “newline”, isto é, uma quebra da linha.
\, que é um caracter de escape para continuidade da instrução na linha seguinte. No exemplo em tela, o template criado é do tipo multi-line.

Nota: a contrabarra em \n também é um caracter de escape e não um caracter literal. Isto é, para imprimir uma contrabarra literalmente, é necessário fazer \\. Vejamos exemplos de literais a seguir.

Exemplos de impressão de caracteres literais¶

print('\\') # imprime contrabarra literal
print('\\\\') # imprime duas contrabarras literais
print('\'') # imprime plica
print('\"') # imprime aspas

\
\\
'
"

f-strings¶

Temos uma maneira bastante interessante de criar templates usando f-strings, que foi introduzida a partir da versão Python 3.6. Com f-strings a substituição é imediata.

print(f'{props[0]} = {res[0]}') # estilo f-string

Área de R = 10.0

Estilos de formatação¶

Veja um comparativo de estilos:

print('%s = %f ' % (props[0], res[0])) # Python 2
print('{} = {}'.format(props[0], res[0])) # Python 3
print('{0:s} = {1:.4f}'.format(props[0], res[0])) # Python 3 formatado

Área de R = 10.000000 
Área de R = 10.0
Área de R = 10.0000

Exemplo: Considere o conjunto: V = \(\{ c \in \mathbb{A} \, ; \, c \text{ é vogal} \}\). Crie a concatenação de todos os elementos com f-string.

V = ['a','e','i','o','u']
V

['a', 'e', 'i', 'o', 'u']

f'{V[0]}{V[1]}{V[2]}{V[3]}{V[4]}' # pouco Pythônico

'aeiou'

Veremos à frente meios mais elegantes de fazer coisas similares.

Controle de fluxo: laço `for`¶

Em Python, podemos realizar iterar por uma coleção ou iterador usando laços. Introduziremos aqui o laço for. Em Python, o bloco padrão para este laço é dado por:

for valor in sequencia:
    # faça algo com valor

Acima, valor é um iterador.

for v in vogais: # itera sobre lista inteira
    print(v)

a
e
i
o
u

for v in vogais[0:3]: # itera parcialmente
    print(v + 'a')

aa
ea
ia

for v in vogais[-2:]: 
    print(f'{v*10}')

oooooooooo
uuuuuuuuuu

Compreensão de lista¶

Usando for, a criação de listas torna-se bastante facilitada.

Exemplo: crie a lista dos primeiros 10 quadrados perfeitos.

Q = [q*q for q in range(1,11)]
Q

[1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100]

A operação acima equivale a:

Q2 = []
for q in range(1,11):
    Q2.append(q*q)
Q2        

[1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100]

Exemplo: crie a PA: \(a_n = 3 + 6(n-1), \, 1 \leq n \leq 10\)

PA = [3 + 6*(n-1) for n in range(1,11) ]
PA

[3, 9, 15, 21, 27, 33, 39, 45, 51, 57]

Exemplo: se \(X = \{1,2,3\}\) e \(Y=\{4,5,6\}\), cria a “soma” \(X + Y\) elemento a elemento.

X = [1,2,3]
Y = [4,5,6]

XsY = [ X[i] + Y[i] for i in range(len(X)) ]
XsY

[5, 7, 9]

Exemplo: se \(X = \{1,2,3\}\) e \(Y=\{4,5,6\}\), cria o “produto” \(X * Y\) elemento a elemento.

XpY = [ X[i]*Y[i] for i in range(len(X)) ]
XpY

[4, 10, 18]

Tuplas¶

Tuplas são são sequencias imutáveis de tamanho fixo. Em Matemática, uma tupla é uma sequência ordenada de elementos. Em geral, o termo \(n-\)upla (“ênupla”) é usado para se referir a uma tupla com \(n\) elementos.

Por exemplo, tuplas de um único elemento são chamadas de “singleton” ou “mônada”. Tuplas de dois elementos são os conhecidos “pares ordenados”. Com três elementos, chamamos de “trio” ou “tripleta”, e assim por diante.

Em Python, tuplas são criadas naturalmente sequenciando elementos.

par = 1,2; par

(1, 2)

trio = (1,2,3); trio

(1, 2, 3)

quad = (1,2,3,4); quad

(1, 2, 3, 4)

nome = 'Nome'; tuple(nome) # casting

('N', 'o', 'm', 'e')

Tuplas são acessíveis por indexação.

quad[1]

quad[1:4]

(2, 3, 4)

quad[3] = 5 # tuplas não são mutáveis

---------------------------------------------------------------------------
TypeError                                 Traceback (most recent call last)
<ipython-input-79-59bcf52d23f3> in <module>
----> 1 quad[3] = 5 # tuplas não são mutáveis

TypeError: 'tuple' object does not support item assignment

Se na tupla houver uma lista, a lista é modificável.

super_trio = tuple([1,[2,3],4]) # casting
super_trio

(1, [2, 3], 4)

super_trio[1].extend([4,5]) 
super_trio

(1, [2, 3, 4, 5], 4)

Tuplas também são concatenáveis com +.

(2,3) + (4,3)

(2, 3, 4, 3)

('a',[1,2],(1,1))*2 # repetição

('a', [1, 2], (1, 1), 'a', [1, 2], (1, 1))

Desempacotamento de tuplas¶

a,b,c,d = (1,2,3,4)

for i in [a,b,c,d]:
    print(i) # valor das variáveis

a,b = (1,2)
a,b = b,a # troca de valores
a,b

(2, 1)

`enumerate`¶

Podemos controlar índice e valor ao iterar em uma sequencia.

for i,x in enumerate(X): # (i,x) é uma tupla (índice,valor)
    print(f'{i} : {x}')

: 1
: 2
: 3

Exemplo: Construa o produto cartesiano

\[A \times B = \{(a,b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \, ; \, -4 \leq a \leq 4 \wedge 3 \leq a \leq 7\}\]

AB = ([(a,b) for a in range(-4,4) for b in range(3,7)])
print(AB)

[(-4, 3), (-4, 4), (-4, 5), (-4, 6), (-3, 3), (-3, 4), (-3, 5), (-3, 6), (-2, 3), (-2, 4), (-2, 5), (-2, 6), (-1, 3), (-1, 4), (-1, 5), (-1, 6), (0, 3), (0, 4), (0, 5), (0, 6), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)]

Dicionários¶

Dicionários, ou especificamente, objetos dict, possuem extrema versatilidade e são muito poderosos. Criamos um dict por diversas formas. A mais simples é usar chaves e pares explícitos.

d = {} # dict vazio
d

{}

type(d)

dict

Os pares chave-valor incorporam quaisquer tipos de dados.

d = {'par': [0,2,4,6,8], 'ímpar': [1,3,5,7,9], 'nome':'Meu dict', 'teste': True}
d

{'par': [0, 2, 4, 6, 8],
 'ímpar': [1, 3, 5, 7, 9],
 'nome': 'Meu dict',
 'teste': True}

Acesso a conteúdo¶

Para acessar o conteúdo de uma chave, indexamos pelo seu nome.

d['par'] 

[0, 2, 4, 6, 8]

d['nome']

'Meu dict'

Exemplo: construindo soma e multiplicação especial.

# dict
op = {'X' :[1,2,3], 'delta' : 0.1}

# função
def sp(op):
    s = [x + op['delta'] for x in op['X']]
    p = [x * op['delta'] for x in op['X']]
    
    return (s,p) # retorna tupla

soma, prod = sp(op) # desempacota

for i,s in enumerate(soma):
    print(f'pos({i}) | Soma = {s} | Prod = {prod[i]}')

pos(0) | Soma = 1.1 | Prod = 0.1
pos(1) | Soma = 2.1 | Prod = 0.2
pos(2) | Soma = 3.1 | Prod = 0.30000000000000004

Inserção de conteúdo¶

# apensa variáveis
op[1] = 3 
op['novo'] = (3,4,1) 
op

{'X': [1, 2, 3], 'delta': 0.1, 1: 3, 'novo': (3, 4, 1)}

Alteração de conteúdo¶

op['novo'] = [2,1,4] # sobrescreve
op

{'X': [1, 2, 3], 'delta': 0.1, 1: 3, 'novo': [2, 1, 4]}

Deleção de conteúdo com `del` e `pop`¶

del op[1] # deleta chave 
op

{'X': [1, 2, 3], 'delta': 0.1, 'novo': [2, 1, 4]}

novo = op.pop('novo') # retorna e simultaneamente deleta
novo

[2, 1, 4]

op

{'X': [1, 2, 3], 'delta': 0.1}

Listagem de chaves e valores¶

Usamos os métodos keys() e values() para listar chaves e valores.

arit = {'soma': '+', 'subtr': '-', 'mult': '*', 'div': '/'} # dict

k = list(arit.keys())
print(k)
val = list(arit.values())
print(val)
for v in range(len(arit)):
    print(f'A operação \'{k[v]}\' de "arit" usa o símbolo \'{val[v]}\'.')

['soma', 'subtr', 'mult', 'div']
['+', '-', '*', '/']
A operação 'soma' de "arit" usa o símbolo '+'.
A operação 'subtr' de "arit" usa o símbolo '-'.
A operação 'mult' de "arit" usa o símbolo '*'.
A operação 'div' de "arit" usa o símbolo '/'.

Combinando dicionários¶

Usamos update para combinar dicionários. Este método possui um resultado similar a extend, usado em listas.

pot = {'pot': '**'}
arit.update(pot)
arit

{'soma': '+', 'subtr': '-', 'mult': '*', 'div': '/', 'pot': '**'}

Dicionários a partir de sequencias¶

Podemos criar dicionários a partir de sequencias existentes usando zip.

arit = {'soma', 'subtr', 'mult', 'div', 'pot'} 
ops = {'+', '-', '*', '/', '**'}

dict_novo = {}

for chave,valor in zip(arit,ops):
    dict_novo[chave] = valor
    
dict_novo

{'soma': '-', 'div': '*', 'pot': '/', 'mult': '+', 'subtr': '**'}

Visto que um dict é composto de várias tuplas de 2, podemos criar um de maneira ainda mais simples.

dict_novo = dict(zip(arit,ops)) # visto que dicts
dict_novo

{'soma': '-', 'div': '*', 'pot': '/', 'mult': '+', 'subtr': '**'}

Controle de fluxo: condicionais `if`, `elif` e `else`¶

Em Python, como na maioria das linguagens, o operador if (“se”) serve para tratar situações quando um bloco de instruções de código precisa ser executado apenas se uma dada condição estabelecida for avaliada como verdadeira. Um bloco condicional é escrito da seguinte forma:

if condição:
    # faça algo

Este bloco diz basicamente o seguinte: “faça algo se a condição for verdadeira”. Vejamos alguns exemplos.

if 2 > 0: # a condição é 'True'
    print("2 é maior do que 0!") 

2 é maior do que 0!

2 > 0 # esta é a condição que está sendo avaliada

True

if 2 < 1: # nada é impresso porque a condição é 'False'
    print("2 é maior do que 0!") 

2 < 1 # esta é a condição que está sendo avaliada

False

A condição pode ser formada de diversas formas desde que possa ser avaliada como True ou False.

x, y = 2, 4
if x < y:
    print(f'{x} < {y}')

2 < 4

A estrutura condicional pode ser ampliada com um ou mais elif (“ou se”) e com else (senão). Cada elif, uma redução de else if, irá testar uma condição adicional se a condição relativa a if for False. Se alguma delas for testada como True, o bloco de código correspondende será executado. Caso contrário, a decisão do interpretador será executar o bloco que acompanhará else.

Exemplo: teste da tricotomia. Verificar se um número é \(>\), \(<\) ou \(= 0\).

x = 4.1 # número para teste

if x < 0: # se
    print(f'{x} < 0')
elif x > 0: # ou se
    print(f'{x} > 0')
else: # senão
    print(f'{x} = 0')

4.1 > 0

Exemplo: Considere o conjunto de classificações sanguíneas ABO (+/-)

\[S = \{\text{A+}, \text{A-}, \text{B+}, \text{B-}, \text{AB+}, \text{AB-}, \text{O+}, \text{O-}\}\]

Se em um experimento aleatório, \(n\) pessoas (\(n \geq 500\)) diferentes entrassem por um hospital em um único dia, qual seria a probabilidade de \(p\) entre as \(n\) pessoas serem classificadas como um(a) doador(a) universal (sangue \(\text{O-}\)) naquele dia? Em seguida, estime a probabilidade das demais.

# 'randint' gera inteiros aleatoriamente
from random import randint 

# número de pessoas
n = 500 

# associa inteiros 0-7 ao tipo sanguíneo
tipos = [i for i in range(0,8)]
sangue = dict(zip(tipos,['A+','A-','B+','B-','AB+','AB-','O+','O-']))

# primeira pessoa
i = randint(0,8) 

# grupo sanguíneo
s = [] 

# repete n vezes
for _ in range(0,n): 
    if i == 0:
        s.append(0)
    elif i == 1:
        s.append(1)
    elif i == 2:
        s.append(2)
    elif i == 3:
        s.append(3)
    elif i == 4:
        s.append(4)
    elif i == 5:
        s.append(5)
    elif i == 6:
        s.append(6)
    else:
        s.append(7)
        
    i = randint(0,7) # nova pessoa

# calcula a probabilidade do tipo p em %.
# Seria necessário definir uma lambda? 
prob = lambda p: p/n*100
        
# armazena probabilidades no dict P
P = {}
for tipo in tipos:
    P[tipo] = prob(s.count(tipo))
    if sangue[tipo] == 'O-':
        print('A probabilidade de ser doador universal é de {0:.2f}%.'.format(P[tipo]))        
    else:
        print('A probabilidade de ser {0:s} é de {1:.2f}%.'.format(sangue[tipo],P[tipo]))                        

A probabilidade de ser A+ é de 10.80%.
A probabilidade de ser A- é de 14.00%.
A probabilidade de ser B+ é de 15.00%.
A probabilidade de ser B- é de 12.80%.
A probabilidade de ser AB+ é de 12.80%.
A probabilidade de ser AB- é de 13.60%.
A probabilidade de ser O+ é de 11.00%.
A probabilidade de ser doador universal é de 10.00%.

Conjuntos¶

As estruturas set (conjunto) são úteis para realizar operações com conjuntos.

set(['a','b','c']) # criando por função

{'a', 'b', 'c'}

{'a','b','c'} # criando de modo literal

{'a', 'b', 'c'}

{1,2,2,3,3,4,4,4} # 'set' possui unicidade de elementos

{1, 2, 3, 4}

União de conjuntos¶

Considere os seguintes conjuntos.

A = {1,2,3}
B = {3,4,5}
C = {6}

A.union(B) # união

{1, 2, 3, 4, 5}

A | B # união com operador alternativo ('ou')

{1, 2, 3, 4, 5}

Atualização de conjuntos (união)¶

A união in-place de dois conjuntos pode ser feita com update.

{6}

C.update(B) # C é atualizado com elementos de B
C

{3, 4, 5, 6}

C.union(A) # conjunto união com A

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

C # os elementos de A não foram atualizados em C

{3, 4, 5, 6}

A atualização da união possui a seguinte forma alternativa com |=.

C |= A # elementos de A atualizados em C
C

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

Interseção de conjuntos¶

A.intersection(B) # interseção

{3}

A & B # interseção com operador alternativo ('e')

{3}

Atualização de conjuntos (interseção)¶

A interseção in-place de dois conjuntos pode ser feita com intersection_update.

D = {1, 2, 3, 4}
E = {2, 3, 4, 5}

D.intersection(E) # interseção com E

{2, 3, 4}

D # D inalterado

{1, 2, 3, 4}

D.intersection_update(E) 
D # D alterado

{2, 3, 4}

A atualização da interseção possui a seguinte forma alternativa com &=.

D &= E
D

{2, 3, 4}

Diferença entre conjuntos¶

{1, 2, 3}

{2, 3, 4}

A.difference(D) # apenas elementos de A

{1}

D.difference(A) # apenas elementos de D

{4}

A - D # operador alternativo 

{1}

D - A 

{4}

Atualização de conjuntos (diferença)¶

A interseção in-place de dois conjuntos pode ser feita com difference_update.

D = {1, 2, 3, 4}
E = {1, 2, 3, 5}

{1, 2, 3, 4}

D.difference(E)
D

{1, 2, 3, 4}

D.difference_update(E)
D

{4}

A atualização da diferença possui a seguinte forma alternativa com -=.

D -= E
D

{4}

Adição ou remoção de elementos¶

{1, 2, 3}

A.add(4) # adiciona 4 a A
A

{1, 2, 3, 4}

{3, 4, 5}

B.remove(3) # remove 3 de B
B

{4, 5}

Reinicialização de um conjunto (vazio)¶

Podemos remover todos os elementos de um conjunto com clear, deixando-o em um estado vazio.

{1, 2, 3, 4}

A.clear()
A # A é vazio

set()

len(A) # 0 elementos

Diferença simétrica¶

A diferença simétrica entre dois conjuntos \(A\) e \(B\) é dada pela união dos complementares relativos:

\[A \triangle B = A\backslash B \cup B\backslash A\]

Logo, em \(A \triangle B\) estarão todos os elementos que pertencem a \(A\) ou a \(B\) mas não aqueles que são comuns a ambos.

Nota: os complementares relativos \(A\backslash B\) e \(B\backslash A\) aqui podem ser interpretados como \(A-B\) e \(B-A\). Os símbolos \(\backslash\) e \(-\) em conjuntos podem ter sentidos diferentes em alguns contextos.

G = {1,2,3,4}
H = {3,4,5,6}

G.symmetric_difference(H) # {3,4} ficam de fora, pois são interseção

{1, 2, 5, 6}

G ^ H # operador alternativo

{1, 2, 5, 6}

Atualização de conjuntos (diferença simétrica)¶

A diferença simétrica in-place de dois conjuntos pode ser feita com symmetric_difference_update.

{1, 2, 3, 4}

G.symmetric_difference_update(H)
G # alterado

{1, 2, 5, 6}

G ^= H # operador alternativo
G

{1, 2, 3, 4}

Continência¶

Podemos verificar se um conjunto \(A\) é subconjunto de (está contido em) outro conjunto \(B\) (\(A \subseteq B\)) ou se \(B\) é um superconjunto para (contém) \(A\) (\(B \supseteq A\)) com issubset e issuperset.

{4, 5}

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

B.issubset(C) # B está contido em C

True

C.issuperset(B) # C contém B

True

Subconjuntos e subconjuntos próprios¶

Podemos usar operadores de comparação entre conjuntos para verificar continência.

\(A \subseteq B\): \(A\) é subconjunto de \(B\)
\(A \subset B\): \(A\) é subconjunto próprio de \(B\) (\(A\) possui elementos que não estão em \(B\))

{1,2,3} <= {1,2,3} # subconjunto

True

{1,2} < {1,2,3} # subconjunto próprio

True

{1,2,3} > {1,2}

True

{1,2} >= {1,2,3}

False

Disjunção¶

Dois conjuntos são disjuntos se sua interseção é vazia. Podemos verificar a disjunção com isdisjoint

{1, 2, 3, 5}

{1, 2, 3, 4}

E.isdisjoint(G) 1,2,5 são comuns

  File "<ipython-input-163-89ce3afb7e04>", line 1
    E.isdisjoint(G) 1,2,5 são comuns
                    ^
SyntaxError: invalid syntax

{4}

E.isdisjoint(D)

True

set()

E.isdisjoint(A)

True

Igualdade entre conjuntos¶

Dois conjuntos são iguais se contém os mesmos elementos.

H = {3,'a', 2}
I = {'a',2, 3}
J = {1,'a'}

H == I

True

H == J

False

{1,2,2,3} == {3,3,3,2,1} # lembre-se da unicidade

True

Compreensão de conjunto¶

Podemos usar for para criar conjuntos de maneira esperta do mesmo modo que as compreensões de lista e de dicionários. Neste caso, o funcionamento é como list, porém, em vez de colchetes, usamos chaves.

{e for e in range(0,10)}

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

{(i,v) for (i,v) in enumerate(range(0,4))}

{(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3)}

Sobrecarga de operadores¶

Em Python, podemos realizar alguns procedimentos úteis para laços de repetição.

x = 2
x += 1 # x = 2 + 1 (incrementação)
x

y = 3
y -= 1 # y = 3 - 1 (decrementação)
y

z = 2
z *= 2 # z = 2*2
z

t = 3
t /= 3 # t = 3/3
t

1.0

Exemplo: verifique se a soma das probabilidades no dict P do experimento aleatório é realmente 100%.

s = 0
for p in P.values(): # itera sobre os valores de P
    s += p # soma cumulativa
print(f'A soma de P é {s}%')

A soma de P é 100.0%

De modo mais Pythônico:

sum(P.values()) == 100

True

Ou ainda:

if sum(P.values()) == 100:
    print(f'A soma de P é {s}%')
else:
    print(f'Há erro no cálculo!')        

A soma de P é 100.0%

Controle de fluxo: laço `while`¶

O condicional while permite que um bloco de código seja repetidamente executado até que uma dada condição seja avaliada como False, ou o laço seja explicitamente terminado com a keyword break. Em laços while, é muito comum usar uma linha de atualização da condição usando sobrecarga de operadores.

A instrução é como segue:

while condicao:
    # faça isso 
    # atualize condicao

x = 10
boom = 0
while x > boom: # não leva em conta igualdade
    print(x)
    x -= 1 # atualizando por decrementação
print('Boom!') 

x = 5
boom = 10
while x <= boom: # leva em conta igualdade
    print(x) 
    x += 0.5 # atualizando por incrementação   

from math import sin,pi
x = 1.0
i = 1
while x**3 > 0:
    if i % 100 == 0: # imprime apenas a cada 1000 repetições
        print(f'Repeti {i} vezes e x = {x**3}. Contando...')     
    x -= 1e-3  # atualiza o decremento
    i += 1 # contagem de repetição
print(f'x = {x**3}')

Repeti 100 vezes e x = 0.7314327009999998. Contando...
Repeti 200 vezes e x = 0.5139224009999996. Contando...
Repeti 300 vezes e x = 0.3444721009999996. Contando...
Repeti 400 vezes e x = 0.2170818009999996. Contando...
Repeti 500 vezes e x = 0.12575150099999965. Contando...
Repeti 600 vezes e x = 0.06448120099999974. Contando...
Repeti 700 vezes e x = 0.02727090099999983. Contando...
Repeti 800 vezes e x = 0.008120600999999913. Contando...
Repeti 900 vezes e x = 0.0010303009999999755. Contando...
Repeti 1000 vezes e x = 9.999999999973564e-10. Contando...
x = -6.8435572439409775e-46

from math import sin,pi
x = 1.0
i = 1
while x**3 > 0:
    if i % 100 == 0: # imprime apenas a cada 1000 repetições
        print(f'Repeti {i} vezes e x = {x**3}. Contando...')    
    if i == 500:
        print(f'Repeti demais. Vou parar.')  
        break # execução interrompida aqui       
    x -= 1e-3  # atualiza o decremento
    i += 1 # contagem de repetição
print(f'x = {x**3}')

Repeti 100 vezes e x = 0.7314327009999998. Contando...
Repeti 200 vezes e x = 0.5139224009999996. Contando...
Repeti 300 vezes e x = 0.3444721009999996. Contando...
Repeti 400 vezes e x = 0.2170818009999996. Contando...
Repeti 500 vezes e x = 0.12575150099999965. Contando...
Repeti demais. Vou parar.
x = 0.12575150099999965

Exemplo: construa seu próprio gerador de números aleatórios para o problema da entrada de pessoas no hospital.

# exemplo simples
def meu_gerador():
    nums = []
    while True: # executa indefinidamente até se digitar ''
        entr = input() # entrada do usuário            
        nums.append(entr) # armazena         
        if entr == '': # pare se nada mais for inserido
            return list(map(int,nums[:-1])) # converte para int e remove '' da lista

# execução: 
# 2; shift+ENTER; para 2
# 3; shift+ENTER; para 3
# 4; shift+ENTER; para 4
# shift+ENTER; para nada
nums = meu_gerador() 
nums

[2, 3, 4]

Exemplo: verifique se a soma das probabilidades no dict P do experimento aleatório é realmente 100%.

sum(P.values())

100.0

`map`¶

A função map serve para construir uma função que será aplicada a todos os elementos de uma sequencia. Seu uso é da seguinte forma:

map(funcao,sequencia)

No exemplo anterior, as entradas do usuário são armazenadas como str, isto é, ‘2’, ‘3’ e ‘4’. Para que elas sejam convertidas para int, nós executamos um casting em todos os elementos da sequencia usando map.

A interpretação é a seguinte: para todo x pertencente a sequencia, aplique funcao(x). Porém, para se obter o resultado desejado, devemos ainda aplicar list sobre o map.

nums = ['2','3','4']
nums

['2', '3', '4']

m = map(int,nums) # aplica a função 'int' aos elementos de 'num'
m

<map at 0x7f8cbbb32810>

Observe que a resposta de map não é human-readable. Para lermos o que queremos, fazemos:

l = list(m) # aplica 'list' sobre 'map'
l

[2, 3, 4]

Podemos substituir funcao por uma função anônima. Assim, suponha que você quisesse enviezar os valores de entrada somando 1 a cada número. Poderíamos fazer isso como:

list(map(lambda x: x**2,l)) # eleva elementos ao quadrado

[4, 9, 16]

`filter`¶

Podemos aplicar também como uma espécie de “filtro” para valores usando a função filter. No caso anterior, digamos que valores acima de 7 sejam inseridos erroneamente no gerador de números (lembre-se que no sistema sanguíneo ABO, consideramos um dict cujo valor das chaves é no máximo 7). Podemos, ainda assim, filtrar a lista para coletar apenas valores menores do que 7. Para tanto, definimos uma função lambda com este propósito.

lista_erronea = [2,9,4,6,7,1,9,10,2,4,5,2,7,7,11,7,6]
lista_erronea

[2, 9, 4, 6, 7, 1, 9, 10, 2, 4, 5, 2, 7, 7, 11, 7, 6]

f = filter(lambda x: x <= 7, lista_erronea) # aplica filtro
f

<filter at 0x7f8cbd4d7450>

lista_corrigida = list(f) # valores > 7 excluídos
lista_corrigida

[2, 4, 6, 7, 1, 2, 4, 5, 2, 7, 7, 7, 6]

Exemplos com maior complexidade¶

Exemplo: Podemos escrever outro gerador de forma mais complexa. Estude este caso (pouco Pythônico).

import random

la = random.sample(range(0,1000),1000) # escolhe 1000 números numa lista aleatória de 0 a 1000
teste = lambda x: -1 if x >= 8 else x # retorna x no intervalo [0,7], senão o próprio número
f = list(map(teste,la))
final = list(filter(lambda x: x != -1,f)) # remove > 8
final

[0, 7, 4, 1, 5, 6, 2, 3]

Exemplo: Associando arbitrariamente o identificador de uma pessoa a um tipo sanguíneo com compreensão de dict.

id_pessoas = {chave:x for chave,x in enumerate(f) if x > -1} # compreensão de dicionário com if
id_pessoas

{77: 0, 100: 7, 191: 4, 313: 1, 357: 5, 669: 6, 854: 2, 919: 3}

Fundamentos de Matemática e Estatística para Ciência de Dados

Fundamentos de Matemática Discreta com Python¶

Matemática Discreta¶

Estruturas de dados em Python para lidar com objetos discretos¶

Listas¶

Listas por geração¶

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Iteração e indexação¶

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Adição por índice¶

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Outros métodos de lista¶

Concatenação de listas¶

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Omissão de start e stop¶

Modo reverso¶

Elementos alternados com step¶

Mutabilidade de listas¶

Formatação de strings¶

Como interpretar o que fizemos?¶

Exemplos de impressão de caracteres literais¶

f-strings¶

Estilos de formatação¶

Controle de fluxo: laço for¶

Compreensão de lista¶

Tuplas¶

Desempacotamento de tuplas¶

enumerate¶

Dicionários¶

Acesso a conteúdo¶

Inserção de conteúdo¶

Alteração de conteúdo¶

Deleção de conteúdo com del e pop¶

Listagem de chaves e valores¶

Combinando dicionários¶

Dicionários a partir de sequencias¶

Controle de fluxo: condicionais if, elif e else¶

Conjuntos¶

União de conjuntos¶

Atualização de conjuntos (união)¶

Interseção de conjuntos¶

Atualização de conjuntos (interseção)¶

Diferença entre conjuntos¶

Atualização de conjuntos (diferença)¶

Adição ou remoção de elementos¶

Reinicialização de um conjunto (vazio)¶

Diferença simétrica¶

Atualização de conjuntos (diferença simétrica)¶

Continência¶

Subconjuntos e subconjuntos próprios¶

Disjunção¶

Igualdade entre conjuntos¶

Compreensão de conjunto¶

Sobrecarga de operadores¶

Controle de fluxo: laço while¶

map¶

filter¶

Exemplos com maior complexidade¶

Omissão de `start` e `stop`¶

Elementos alternados com `step`¶

Controle de fluxo: laço `for`¶

`enumerate`¶

Deleção de conteúdo com `del` e `pop`¶

Controle de fluxo: condicionais `if`, `elif` e `else`¶

Controle de fluxo: laço `while`¶

`map`¶

`filter`¶