Recorte 13: Análise de erros em interpolação polinomial

Erro na interpolação¶

• O problema da interpolação garante que

para um polinômio $P_n(x)$ interpolador de $f(x)$ sobre um conjunto distinto de pontos $x_0,x_1,\ldots,x_n$.

• O mesmo não é garantido para pontos $\overline{x} \neq x_k$, isto é, nem sempre teremos $P_n(\overline{x}) = f(\overline{x})$

• Uma vez que $P_n(x)$ aproxima $f(x)$, um erro existe

• Perguntas: quão boa é a aproximação feita por $P_n(x)$? Como ter ideia do erro cometido?

Ao se aproximar $f(x)$ por $P_n(x)$ (grau $\leq n$), comete-se um erro – Notemos que $E_n(\overline{x}) = 0, \forall \overline{x} \neq x_k$.

Teorema 1: Seja $f(x)$ contínua em $[a,b]$ e suponhamos que $f^{(n+1)}(x)$ exista para todo $x \in (a,b)$. Se $a \leq x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n \leq b$, então:

onde $x_0 < \xi_x < x_n$. O ponto $\xi_x$ depende de $x$.

Majorante para o erro¶

• A fórmula para o erro dada anteriormente tem uso prático limitado, pois $f^{(n+1)}(x)$ nem sempre sera conhecida, assim como a determinação de $\xi_x$.

• A fórmula exata tem relevância teórica, já que é usada na obtenção de estimativas de erro para as fórmulas de interpolação, diferenciação e integração numérica

• Dois corolários do teorema anterior são importantes para se trabalhar com um majorante para o erro

Corolário 1: Sob as hipóteses do Teorema 1, se $f^{(n+1)}(x)$ for contínua em $I = [x_0, x_n]$, podemos escrever a seguinte relação

com

Corolário: Se além das hipóteses do Corolário 1, os pontos forem igualmente espaçados, isto é, $x_1 - x_0 = x_2 - x_1 = \ldots = x_n - x_{n-1} = h$, então

O majorante independe de $x$.

Estimativa para o erro¶

Se $f(x)$ for dada na forma de tabela, o valor absoluto $| E_n(x) |$ pode ser apenas estimado, pois, neste caso, não é possível calcular $M_{n+1}$; mas, se continuarmos a tabela de DDs até a ordem $n+1$, poderemos usar o maior valor (em módulo) das DDs como uma aproximação para

Neste caso, dizemos que

para $M$ o valor máximo das DDs de ordem $n+1$.