Projeção ortogonal de um vetor sobre um subespaço ¶ Seja E E E E ′ E' E ′ n n n E E E v v v E E E E ′ E' E ′
Problema : obter um vetor v 0 ∈ E ′ v_0 \in E' v 0 ∈ E ′ v − v 0 v − v_0 v − v 0 E ′ E' E ′ E = R 3 E = \mathbb{R}^3 E = R 3 E ′ = R 2 E' = \mathbb{R}^2 E ′ = R 2
Solução : seja { e 1 , e 2 , … , e n } \{ e_1, e_2, \ldots, e_n \} { e 1 , e 2 , … , e n } E ′ E' E ′ v 0 ∈ E ′ v_0 \in E' v 0 ∈ E ′
v 0 = γ 1 e 1 + γ 2 e 2 + … + γ n e n . v_0 = \gamma_1e_1 + \gamma_2e_2 + \ldots + \gamma_ne_n. v 0 = γ 1 e 1 + γ 2 e 2 + … + γ n e n . Devemos determinar, caso possível, as coordenadas γ 1 , γ 2 , … γ n \gamma_1, \gamma_2, \ldots \gamma_n γ 1 , γ 2 , … γ n
Para v − v 0 v - v_0 v − v 0 E ′ E' E ′ E ′ E' E ′ E ′ E' E ′
⟨ v − v 0 , e j ⟩ = ⟨ v − ( γ 1 e 1 + γ 2 e 2 + … + γ n e n ) , e j ⟩ = 0 para j = 1 , 2 , … , n \langle v - v_0, e_j \rangle = \langle v - (\gamma_1e_1 + \gamma_2e_2 + \ldots + \gamma_ne_n), e_j \rangle = 0 \qquad \text{para} \ \ j = 1,2,\ldots,n ⟨ v − v 0 , e j ⟩ = ⟨ v − ( γ 1 e 1 + γ 2 e 2 + … + γ n e n ) , e j ⟩ = 0 para j = 1 , 2 , … , n Expandindo o produto vetorial, observamos que a seguinte equação deve ser satisfeita
γ 1 ⟨ e 1 , e j ⟩ + γ 2 ⟨ e 2 , e j ⟩ + … + γ n ⟨ e n , e j ⟩ = ⟨ v , e j ⟩ , j = 1 , 2 , … , n . \gamma_1 \langle e_1, e_j \rangle + \gamma_2 \langle e_2, e_j \rangle + \ldots + \gamma_n \langle e_n, e_j \rangle = \langle v, e_j \rangle, \ \ j = 1,2,\ldots,n. γ 1 ⟨ e 1 , e j ⟩ + γ 2 ⟨ e 2 , e j ⟩ + … + γ n ⟨ e n , e j ⟩ = ⟨ v , e j ⟩ , j = 1 , 2 , … , n . Equações desse tipo são conhecidas como equações normais .
Assim, para obtermos as coordenadas de V 0 V_0 V 0 { e 1 , e 2 , … , e n } \{ e_1, e_2, \ldots, e_n \} { e 1 , e 2 , … , e n }
[ ⟨ e 1 , e 1 ⟩ ⟨ e 2 , e 1 ⟩ … ⟨ e n , e 1 ⟩ ⟨ e 1 , e 2 ⟩ ⟨ e 2 , e 2 ⟩ … ⟨ e n , e 2 ⟩ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⟨ e 1 , e n ⟩ ⟨ e 2 , e n ⟩ … ⟨ e n , e n ⟩ ] [ γ 1 γ 2 ⋮ γ n ] = [ ⟨ v , e 1 ⟩ ⟨ v , e 2 ⟩ ⋮ ⟨ v , e n ⟩ ] , \begin{bmatrix}
\langle e_1,e_1 \rangle & \langle e_2,e_1 \rangle & \ldots & \langle e_n,e_1 \rangle \\
\langle e_1,e_2 \rangle & \langle e_2,e_2 \rangle & \ldots & \langle e_n,e_2 \rangle \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\langle e_1,e_n \rangle & \langle e_2,e_n \rangle & \ldots & \langle e_n,e_n \rangle
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\gamma_1 \\
\gamma_2 \\
\vdots \\
\gamma_n \\
\end{bmatrix}
\,
=
\,
\begin{bmatrix}
\langle v,e_1 \rangle \\
\langle v,e_2 \rangle \\
\vdots \\
\langle v,e_n \rangle
\end{bmatrix}, ⎣ ⎡ ⟨ e 1 , e 1 ⟩ ⟨ e 1 , e 2 ⟩ ⋮ ⟨ e 1 , e n ⟩ ⟨ e 2 , e 1 ⟩ ⟨ e 2 , e 2 ⟩ ⋮ ⟨ e 2 , e n ⟩ … … ⋱ … ⟨ e n , e 1 ⟩ ⟨ e n , e 2 ⟩ ⋮ ⟨ e n , e n ⟩ ⎦ ⎤ ⎣ ⎡ γ 1 γ 2 ⋮ γ n ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ ⟨ v , e 1 ⟩ ⟨ v , e 2 ⟩ ⋮ ⟨ v , e n ⟩ ⎦ ⎤ , cuja matriz é simétrica. Pode-se mostrar que o sistema acima possui solução única , implicando que v 0 v_0 v 0 projeção ortogonal de v v v E ′ E' E ′