Recorte 12: Condicionamento e normas de matrizes - Laboratório Virtual de Métodos Numéricos (LAVIME)

Normas de matrizes e vetores¶

Uma norma é uma função de valor real que fornece uma medida do tamanho ou “comprimento” de entidades matemáticas de componentes múltiplos, tais como vetores e matrizes. Para um vetor de $n$ dimensões $\textbf{x}$ , sabemos que uma norma Euclidiana seria calculada como

||\textbf{x}|| = \sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^n \textbf{x}_i^2}.

(1)

O conceito pode ser estendido para uma matriz $\textbf{A}$ da seguinte maneira:

||\textbf{A}|| = \sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i,j}^2},

(2)

cujo nome, em especial, é norma de Frobenius. Assim como qualquer outra norma de um vetor, ela fornece um valor único que quantifica o “tamanho” de $\textbf{A}$ .

Para vetores, existem alternativas, as chamadas normas- $p$ . que podem ser representadas geralmente por

||\textbf{x}||_p = \left( \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i^p \right)^{1/p}.

(3)

Vemos que a norma Euclidiana e a norma-2 são idênticas para vetores.

Outros exemplos importantes são

||\textbf{x}||_1 = \displaystyle \sum_{i=1}^n |x_i|,

(4)

que representa a norma como a soma dos valores absolutos dos elementos. Outra é a norma de magnitude máxima.

||\textbf{x}||_{\infty} = \max_{1 \le i \le n} |x_i|,

(5)

que define a norma como o elemento com o maior valor absoluto.

Usando uma abordagem similar, outras normas podem ser desenvolvidas por matrizes. Por exemplo,

||\textbf{A}||_{1} = \max_{1 \le j \le n} \displaystyle \sum_{i=1}^n |a_{ij}|,

(6)

isto é, uma somatória dos valores absolutos dos coeficientes é feita para cada coluna, e a maior dessas somatórias é tomada como a norma. Esta é chamada norma da soma das colunas.

Uma norma similar pode ser definida para as linhas, resultando na norma da soma das linhas

||\textbf{A}||_{\infty} = \max_{1 \le i \le n} \displaystyle \sum_{j=1}^n |a_{ij}|.

(7)

Deve-se notar que, em contraste com os vetores, a norma-2 e a norma Euclidiana para uma matriz não são as mesma. A norma-2 é calculada pela expressão

||\textbf{A}|| = (\mu_{\max})^{1/2},

(8)

onde $\mu_{\max}$ é o maior autovalor da matriz $\textbf{B} = \textbf{A}^T \textbf{A}$ . Esta norma é chamada de norma espectral.

Número de condição de uma matriz¶

O número de condição de uma matriz é definido (pela forma mais comum) por

\mathrm{cond}(\textbf{A}) = ||\textbf{A}|| \, || \textbf{A}^{-1} ||.

(9)

Se o valor de $\mathrm{cond}(\textbf{A})$ for muito maior do que 1, diz-se que o sistema é mal-condicionado.