Recorte 11: Método de Newton-Raphson para raízes múltiplas - Laboratório Virtual de Métodos Numéricos (LAVIME)

Para mais detalhes, veja o artigo Newton’s method for multiple roots, autorado por William Gilbert e publicado na revista Computers & Graphics 18(2):227-229, em 1994. DOI: 10.1016/0097-8493(94)90097-3.

Método modificado¶

Uma raiz múltipla corresponde a um ponto no qual a função é tangente ao eixo x. Por exemplo,

f(x) = (x-0.5)(x+2)(x+2)

(1)

possui uma raiz dupla $x = -2$ , ao passo que

f(x) = (x + \pi)^4(x-1)

(2)

possui uma raiz quádrupla em $x = - \pi$ .

Raízes múltiplas causam dificuldades para muitos dos métodos numéricos iterativos. Ralston e Rabinowitz (1978) propuseram um método de Newton-Raphson modificado para computar raízes múltiplas de uma função $f(x)$ . Eles definiram uma nova função

u(x) = \frac{f(x)}{f'(x)},

(3)

cujas raízes são as mesmas de $f(x)$

O MNR padrão aplicado à função $u(x)$ é dado por

x_{i+1} = x_i - \frac{u(x_i)}{u'(x_i)}, \quad i = 0,1,2,\ldots

(4)

Tendo em vista que a derivada de $u(x)$ é dada por

u'(x) = \frac{f'(x)f'(x) - f(x)f''(x)}{[f(x)]^2},

(5)

podemos substituir $u(x)$ e $u'(x)$ no método padrão para obter o método de Newton-Raphson modificado:

x_{i+1} = x_i - \frac{f(x_i)f'(x_i)}{[f'(x_i)]^2 - f(x_i)f'(x_i)}, \quad i = 0,1,2,\ldots

(6)