Recorte 6: Definições de erro

Erro absoluto¶

O erro absoluto é computado pelo módulo do erro real (ou verdadeiro) e dado por

onde o subscrito $v$ significa verdadeiro.

No entanto, o grande defeito do erro absoluto é não levar em conta a ordem de grandeza dos valores envolvidos no seu cálculo. Então, para levarmos em conta a ordem de grandeza, devemos normalizá-lo.

Erro relativo¶

A normalização do erro absoluto produz o erro relativo, o qual pode ser relativo ao valor exato (verdadeiro) ou ao próprio valor aproximado. No primeiro caso, temos o erro relativo verdadeiro $\epsilon_v$, dado por

Em geral, os erros relativos são dados em porcentagem. Assim, podemos escrever

Erro relativo aproximado¶

Todavia, em situações reais, nem sempre conhecemos o valor verdadeiro. Ele está disponível quando temos soluções analíticas (“fechadas”) para alguns problemas simplificados. Este desconhecimento prévio do valor verdadeiro leva-nos à necessidade de se estabelecer o erro relativo normalizado pelo valor aproximado, isto é,

sendo o erro aproximado não exatamente aquele dado por $E_v$.

Erro relativo - abordagem iterativa¶

Em métodos numéricos aplicados a problemas do mundo real, temos interesse em determinar estimativas de erro, já que não temos conhecimento prévio relativo ao valor verdadeiro. A abordagem iterativa, que veremos mais à frente, encontra a aproximação atual com base em uma aproximação prévia, que parte de uma estimativa inicial. Para essas situações, o erro relativo é estimado como

Nos métodos iterativos, a prática comum é especificar uma tolerância porcentual $\epsilon_s$ para o erro relativo e esperar que os métodos obtenham um erro menor do que esta tolerância, isto é,

Caso esta desigualdade seja verificada, diremos que nosso o método possui uma margem de erro aceitável e pode ser considerado suficientemente preciso dentro do que estabelecemos.