Caderno 12 - Laboratório Virtual de Métodos Numéricos (LAVIME)

import matplotlib.pyplot as plt
plt.style.use('../styles/gcpeixoto-book.mplstyle')

Ajuste de curvas: caso não-linear¶

import numpy as np 
import matplotlib.pyplot as plt

Motivação: comportamento de fluidos lei de potência¶

gamma = np.linspace(0,1,20,True)
n1 = 1.5 # dilatante
n2 = 0.7 # pseudoplastico
k = 0.1
tau1 = k*gamma**n1
tau2 = k*gamma**n2
tau3 = k*gamma

plt.plot(gamma,tau1,'o',label='dilatante')
plt.plot(gamma,tau2,'o',label='pseudoplástico')
plt.plot(gamma,tau3,'-o',label='newtoniano')
plt.legend()
plt.xlabel('$\dot{\gamma}$')
plt.ylabel('$\sigma}$')
plt.grid(axis='x')
plt.title('Dispersão: fluidos lei de potência')
plt.tick_params(axis='both',which='both',labelbottom=False,labelleft=False)

Exemplo¶

Determine os parâmetros $a$ e $b$ de modo que $y = f(x) = ae^{bx}$ ajuste os seguintes dados no sentido de mínimos quadrados:

x	y
1.2	7.5
2.8	16.1
4.3	38.9
5.4	67.0
6.8	146.6
7.9	266.2

Plotando o gráfico de dispersão:

x = np.array([1.2,2.8,4.3,5.4,6.8,7.9])
y = np.array([7.5,16.1,38.9,67.0,146.6,266.2])
plt.plot(x,y,'o');

Teste de alinhamento: façamos a linearização

Y = Z + bx,

(1)

onde $Y = \log(y)$ e $Z = \log(a)$ .

Plotemos a dispersão $(x,Y)$ .

Y = np.log(y)
plt.plot(x,Y,'d');

O teste do alinhamento nos diz que a função de ajuste é adequada para a regressão linear.

Regressão linear: façamos a regressão linear para buscar os parâmetros $b$ e $Z$ do modelo linearizado.

from scipy.stats import linregress

b,Z,R,p,e = linregress(x,Y)
print(f'Inclinação = {b:.3f}; offset = {Z:.3f}; R2 = {R*R:.3f}.')

Inclinação = 0.537; offset = 1.332; R2 = 0.999.

De fato, o coeficiente $R^2 \approx 1.0$ mostra correlação quase máxima no modelo linearizado.

Comparação entre dados experimentais e ajustados: plotaremos agora a dispersão e o modelo ajustado.

a = np.exp(Z) # recupera o valor de a 
modelo = lambda x: a*np.exp(b*x)

plt.plot(x,y,'o',mfc='None')
plt.plot(x,modelo(x),'rs',mfc='None');
plt.legend(('amostras','ajuste'));

Estimando valores não tabelados: visto que o modelo exponencial se acomoda bem aos dados experimentais, agora podemos estimar valores que são desconhecidos, tais como $x = 3.2$ ou $x = 7.5$ .

xp = np.array([3.2,7.5]) # valores procurados

for p in xp:
    print(f'Em x = {p:g}, a estimativa é f(x) = {modelo(p):g}')

Em x = 3.2, a estimativa é f(x) = 21.097
Em x = 7.5, a estimativa é f(x) = 211.969

Exercício¶

A seguinte tabela mostra a variação de condutividade térmica relativa $k$ de sódio com a temperatura $T$ em graus Celsius. Busque um modelo não-linear que ajusta os dados no sentido de mínimos quadrados.

k	T
1.00	79
0.932	190
0.839	357
0.759	524
0.693	690